Derivée n-ième

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Derivée n-ième
Message de sharong posté le 24-10-2022 à 22:25:02 (S | E | F)
Bonjour a tous,

Je poste ce message pour vous demander de l'aide sur un DM de maths :

Voici l'énoncé :

f est la fonction définir sur R par f(x) = (1-2x)e^2x
On définit les dérivées successives de f par : f^(1)=f' et pour tout entier naturel n>1, f^(n+1) = (f^(n))'

1. Montrer par récurrence que pour tout réel x et tout entier naturel n non nul : f(n)(x) = 2^n(1-n-2x)e^2x

2. Pour tout entier naturel n non nul, la courbe representative de f(n), dans un repère, admet un tangente parallèle à l'axe de abscisses en un point Mn
a) calculer les coordonnée (xn;yn) de Mn
b) Vérifier que le suite (xn) est une suite arithmétique dont précisera le premier terme et le raison
c) Vérifier que la suite (yn) est une suite géométrique dont précisera le premier terme de la raison

En vous remerciant d'avance pour toute aide apportée.

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 25-10-2022 à 12:18:06 (S | E)
Bonjour

Vous nous avez pas montré ce que vous aviez pu essayer de faire pour vous bien vous aiguiller . Essayez de répondre à la 1ere question et envoyez votre réponse .

Vous pouvez aussi l'accompagner des réponses des autres questions pour voir où vous en etes pour vous apporter l'aide nécessaire . Bonne continuté

Réponse : Derivée n-ième de sharong, postée le 25-10-2022 à 19:32:48 (S | E)
Bonjour,

Merci pour votre retour.

Pour la question 1 : j'ai réussi la première étape de l'initisalisation mais je bloque sur l'hérédité.

= f^(n+1)=(f^(n()'

Donc j'ai fait :
f^(n)(x) = 2^n(1-n-2x)e^2x
= 2^n(u'v+v'u)

Avec u=1-n-2x
u'=-2
v= e^2x
v'= 2e^2x

= 2^n(-2e^2x+2e^2x(1-n-2x))
= 2^n(-2e^2x=2e^2x-ne^2x+2xe^2x)
=2^n(-2ne^2x-4xe^2x) --> ensuite on factorise par e^2x
=2^n(e^2x(-2n-4x) --> ensuite on ajoute les +1
=2^N+1 (e^2x(-2n + 2 - 4x)
Or je dois trouver 2^n+1(1-n-2x)e^2x

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 25-10-2022 à 21:17:41 (S | E)
Bonsoir
Merci à vous .
Vous avez très bien compris à part malheureusement quelques failles dans les étapes de calcul
On sait que l'on partir de [f_n(x)]'pour arriver au résultat f_(n+1)(x)=-2^(n+1)(n+2x)exp(2x)

= 2^n(-2e^2x+2e^2x(1-n-2x)) (Oui)
dans la suite ,il y a des erreurs ,voici la correction
=2^n(-2e^2x +2e^2x -2ne^2x-4xe^2x)
=2^n(-2n-4x)e^2x=2^n*(-2)(n+2x)e^2x=-2^(n+1)(n+2x)e^2x
conclusion : P(0) est vraie et P(n) héréditaire à partir du rang 1,donc P(n) est vraie pour tout n entier naturel
2) Comment déterminer les coordonnées de M_n ?
Une tangente parallèle à l'axe des abscisses (xx') a son coefficient directeur nul pour cela il suffit de voir pour quelle valeur de x la dérivée de [f_n(x)]'=0 c.a.d -2^(n+1)(n+2x)e^2x = 0 ( à résoudre) pour trouver solution x_n= ? puis de remplacer valeur solution dans f_n(x)=2^n(1-n-2x)e^2x
pour l'ordonnée y_n .
Poster votre réponse .Bon courage et bonne continuité .

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Modifié par wab51 le 25-10-2022 21:36

Réponse : Derivée n-ième de sharong, postée le 25-10-2022 à 22:02:32 (S | E)
Merci j'ai compris
Pour la 2 j'ai trouvé
x= -n/2
y=(2/e)^n

Est ce bien cela ?

Merci beaucoup pour votre aide en tout cas, cela m'a beaucoup aidé

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 25-10-2022 à 22:25:09 (S | E)
Oui ,c'est bien ça .N'oublier pas de mettre les indices
x_n= -n/2
y_n=(2/e)^n
donc M_n(-n/2 ; (2/e)^n
Bonne continuation

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 25-10-2022 à 22:44:32 (S | E)
b) Vérifier que le suite (xn) est une suite arithmétique dont on précisera le premier terme et la raison
(xn) a pour terme général x_n=-n/2
Il suffit donc de vérifier que x_(n+1) -x_n = nombre (donc constant) et déduire que la suite (xn) est une suite arithmétique
de raison = ??? et de premier terme x_0= ...

c) Vérifier que la suite (yn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison
(yn) a pour terme général y_n=(2/e)^n puis vérifier que y_(n+1)/y_n=nombre et déduire que (yn) est géométrique de raison = ... et le premier terme
Bon courage

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Modifié par wab51 le 26-10-2022 12:43

Réponse : Derivée n-ième de sharong, postée le 26-10-2022 à 12:10:32 (S | E)
Bonjour,
Pour la suite arithmétique : j'ai trouve x_(n+1)-x_n = (-2n+1)/2
Comment faire pour trouver la raison et le premier terme ?

Pour la suite géométrique j'ai trouver y_((n+1)-y_n = (2/e)^n+1 - (2/e)^n --> Comment le simplifier et comment trouver la raison et le premier terme ?

Je vous remercie par avance

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 26-10-2022 à 12:41:53 (S | E)
Bonjour
Tout d'abord ,je viens de m'aperçoir à l'instant même avoir fait une faute en donnant la meme définition pour une suite arithmétique que suite géométrique ,je vous demande de bien vouloir m'excuser .Je voulais aller trop vite en faisant une copie collé de a) pour arithmétique et oublier de faire le rapport au lieu de la différence des deux termes successives de la suite .Permettez moi de revenir à mon précédent pour porter la correction à cette étourderie . A tout de suite

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 26-10-2022 à 13:11:50 (S | E)
Me voilà de retour
1) Pour trouver la raison r d'une suite arithmétique ,il suffit d'appliquer la définition dont je rappelle :
"(x_n) est une suite arithmétique s'il existe un nombre entier r tel que x_(n+1) - x_n = r (autrement dit la différence entre un terme et son précédent reste constant .
Ainsi donc il suffit de vérifier par le calcul que x_(n+1) - x_n = r soit donc (-(n+1)/2) - (-n/2)= ...
La suite arithmétique (x_n) a pour terme général x_n=-n/2 , donc le 1er terme est x_0= 0 , (les termes de (x_n) : x_0 , x_1 , x_2 , ,...,x_n=-/2)
2) Meme principe de raisonnement sachant que la definition d'une suite géométrique :
"(y_n) est une suite géométrique s'il existe un nombre entier r tel que y_(n+1) / x_n = q (autrement dit le rapport entre un terme et son précédent reste constant .
Il ne reste plus qu'à vérifier par le calcul que y_(n+1) / x_n = q soit donc (2/e)^(n+1) - (2/e)^n = ...
La suite géométrique (y_n) a pour terme général y_n=(2/e)^n , est donc le 1er terme est y_0= ...
(les termes de (y_n) sont : y_0 , y_1 , y_2 , ,... , y_n=(2/e)^n ). Voilà ,je pense que c'est encore plus clair . Poster vos réponses .

Réponse : Derivée n-ième de sharong, postée le 26-10-2022 à 16:44:18 (S | E)
Re,

Pour la suite arithmétique je trouve x_n+1-x_n = (-2n+1)/2 --> C'est la raison
Comment calculer le premier terme ? Je suis perdu

Pour la suite géometrique je trouve y_n+1/y_n = (2/e)^n+1 / (2/e)^n = je suis bloquée pour la suite du raisonnement
Même question, comment calculer le premier terme ?

Merci

Réponse : Derivée n-ième de wab51, postée le 26-10-2022 à 18:04:16 (S | E)
C'est malheureusement faux .On doit trouver logiquement un résultat de la raison (r ou q) qui ne dépend pas de n .Je pense avec toutes les explications détaillées précédentes qu'on pourrait facilement avoir la réponse .Je pense peut être que votre erreur vient d'une mauvaise maitrise des opérations dans les calculs .

On a x_n=-n/2 et x_(n+1)=-(n+1)/2=(-n-1)/2 donc la différence x_(n+1) - x_n = (-n-1)/2 - (-n/2) = (-n-1)/2 +n/2 = (-n-1+n)/2 = -1/2 . La raison de la suite arithmétique (x_n) est le nombre constant r=-1/2 . On obtient le 1er terme de la suite pour n=0 dans le terme général et il est égal à x_0=-0/2=0 .

On a y_n=(2/e)^n et y_(n+1)=(2/e)^(n+1)=(2/e)^n * (2/e)^1 =(2/e)^n * (2/e) donc le rapport (2/e)^(n+1) / (2/e)^n =(2/e)^n * (2/e) / (2/e)^n =2/e .
La raison de la suite géométrique (y_n) est le nombre constant q=2/e .Le 1er terme de la suite pour n=o dans le terme général et il est égal à
y_0=(2/e)^0=1 (tout nombre différent de zéro à la puissance 0 est égal à 1 ) . Merci

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