Divisibilité dans Z

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Divisibilité dans Z
Message de diallo20 posté le 17-11-2022 à 13:03:02 (S | E | F)
Bonjour !
Aidez moi dans cet exercice svp.
Soit la fraction A(n)=n+16/n-2 avec n€Z.
1) Montrer que l'on peut écrire A(n) sous la forme :a+_b/n-2 où a,b sont deux entiers naturels à déterminer.
2) Pour quelle valeur de n,A(n) est il un entier naturel.
NB:ce a plus b sur n-2.

Mon raisonnement :
je calculé, résultats :n+16/18 je donné les valeurs possibles de n,n€{-34;-25;-19;-18;-17;-15;-14;-13;-7;2}.
Maintenant pour écrire A(n) sous la forme a+_b/n-2
Je pris. 18+_2/n-2

Est-il vrai ?
Merci d'avance.

Réponse : Divisibilité dans Z de tiruxa, postée le 17-11-2022 à 15:09:31 (S | E)
Bonjour

Pour la première question
(n+16)/(n-2)=(n-2+18)/(n-2)=(n-2)/(n-2)+18/(n-2)=1+18/(n-2) (faire attention aux parenthèses...)

Donc ce sera un entier si et seulement si (n-2) divise 18

Donc chercher les diviseurs de 18 en déduire les valeurs possibles de n-2 puis de n.

Réponse : Divisibilité dans Z de diallo20, postée le 17-11-2022 à 17:21:10 (S | E)
Le diviseur de 18?
(-18,-9,-3,-2,-1,1,2,3,9,18)
Les valeurs possibles de n je déjà poster si n+16=-18.... jusqu'à n+16=18.
J'aimerais savoir si mon raisonnement est juste où pas.

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Modifié par diallo20 le 17-11-2022 19:08

Réponse : Divisibilité dans Z de tiruxa, postée le 18-11-2022 à 10:31:43 (S | E)
Ok pour l'ensemble des valeurs de n-2 soit (-18,-9,-3,-2,-1,1,2,3,9,18)

Pour celles de n on ajoute simplement 2 donc (-16,-7,-1,0,1,3,4,5,11,20)

A part -7 que vous aviez trouvé mais les autres valeurs sont fausses

Il suffit de remplacer n par une de os valeurs pour le constater

Réponse : Divisibilité dans Z de chezmoi, postée le 18-11-2022 à 14:26:30 (S | E)
Bonjour,

On vous a déjà dit que ce n'est pas vrai.

1) A(n) = (n + 16)/(n – 2)
= (n + (-2) + 2 + 16)/(n – 2)
= (n – 2 + 18)/(n – 2)
= (n - 2)/(n - 2) + 18/(n- 2)
= 1 + 18/(n – 2)

a = 1,
b = 18

2)
Essayez
n = 3 ⇒ A(3) = 19/1 = 1 + 18/(3 - 2) = 1 + 18 = 19
Super !

A(n) est entier naturel existe si le dernier 18/(n – 2) ∈ {1, 2, 3…} est entier naturel. Pourquoi ? Et pour quel n ?
Le reste est à vous d'évaluer.

Bonne chance

Réponse : Divisibilité dans Z de wab51, postée le 19-11-2022 à 18:53:12 (S | E)
Bonsoir

Rappel :

. Merci

Réponse : Divisibilité dans Z de diallo20, postée le 20-11-2022 à 00:12:59 (S | E)
Mercie!
Wab51, après avoir effectué la division,n+16/18.
Donc D(18)={-18,-9;-3;-2;-1;1;2;3;6;9;18}.
Maintenant j'égalise chacune de ces valeurs là à n+16 et je tire n?!
Cordialement !

Réponse : Divisibilité dans Z de tiruxa, postée le 20-11-2022 à 10:06:38 (S | E)
Diallo20 lisez vous mes réponses ?

C'est n-2 qui divise 18 donc par exemple n-2 peut être égal à 9 donc n est égal à 9+2 soit 11.

Vérifions (11+16)/(11-2) = 27/9 = 3 c'est bien un entier .

Même chose pour les autres diviseurs de 18 que vous avez listés.

Réponse : Divisibilité dans Z de diallo20, postée le 20-11-2022 à 13:00:27 (S | E)
Tiruxa.
Au faite ce la 2eme question qui m'a fatigué, parce-que `n` aura beaucoup de valeurs !
Je reprends ma méthode, n+16/n-2.
Je pris,n+16/n+16 et n+16/n-2 avec le système je combiner les deux.
n+16/(n+16)-(n-2). n et n disparaît et il me reste n+16/18. Après je donné les valeurs possibles diviseur de 18.
D(18)={-18;........18}.mtn je égalisé toutes ces valeurs là à n+16 pour obtenir la valeur de n.

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Modifié par diallo20 le 20-11-2022 13:01

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Modifié par diallo20 le 20-11-2022 17:01

Réponse : Divisibilité dans Z de wab51, postée le 20-11-2022 à 21:13:52 (S | E)
Bonsoir diallo
Je me suis concentré à lire minutieusement toutes vos réponses .Il me semble sans le moindre doute que votre erreur provient du fait d'une fausse interprétation de l'énoncé au lieu de considérer la fraction de Numérateur égal à (n+16) sur le dénominateur égal à (n-2) ,comme c'est bien écrit et précisé dans l'énoncé ,vous aviez fait malheureusement tout votre travail sur la base d'une autre fraction (n-2) sur (n+16) ,autrement dit la fraction inverse donc un changement complet de l'énoncé ce qui laisse évidemment entendre que vos réponses ne peuvent etre acceptées ,elles sont fausses ,meme si le hasard a voulu que le reste soit le meme à un signe près +18 et -18 dont l'un ou l'autre donne un meme ensemble de diviseurs de 18 .En conséquence et pour répondre correctement à l'exercice , je vous invite tout simplement à reprendre le meme raisonnement avec la fraction qui est donnée (n+16) sur (n-2) .Là , personnellement je n'attends pas de surprise parce que je suis convaincu que vous savez parfaitement faire .Merci

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