Pb des dés du Duc de Toscane

Pb des dés du Duc de Toscane
Message de farfouille posté le 06-02-2024 à 11:02:21 (S | E | F)
Bonjour,

Je m'intéresse au Pb du Duc de Toscane. L'analyse de ce problème permet de dénombrer le nombre de manières d'obtenir 9 et 10 à partir de 3 dés.

Ici je me concentre uniquement sur le nombre de manières différentes de dénombrer les manières de faire 9, mais le raisonnement est le même pour la somme des trois termes pour faire dix.

Voici un résumé du dénombrement à effectuer :
pour faire 9:
solution2:7+1+1
solution3:6+2+1
solution2:5+2+2
solution3:5+3+1
solution3:4+3+2
solution2:4+4+1
solution1:3+3+3

solution1 donnent une seule solution
solution2 donnent 2 parmi 3 = 3 solutions (x,x,y)=(y,x,x)=(x,y,x) (3!/2! car on a 2 fois "x")
solution3 donne 3!=6 solutions

Je m'interroge ici sur la solution1 ==> si l'on a qu'une solution cela veut dire que l'ordre de tirage des dés n'a PAS d'importance ...
...ce qui rentre en contradiction avec les autres calculs, tout du moins partiellement, car cela revient à dire que l'on prend en compte l'ordre de tirage de la variable y uniquement.

J'y vois donc une contradiction car il y a 3 manières de faire 3+3+3 non ?

Merci d'avance,

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Modifié par farfouille le 06-02-2024 11:02



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Modifié par farfouille le 06-02-2024 11:03

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Réponse : Pb des dés du Duc de Toscane de tiruxa, postée le 06-02-2024 à 15:36:20 (S | E)
Bonjour

En fait quand on jette des dés l'ordre n'est pas important, on peut les jeter simultanément où l'un après l'autre les probabilités sont identiques.

Pour mieux comprendre imaginons que les dés aient des couleurs différentes
Soit x le résultat du dé Blanc
y celui du dé Vert
z celui du dé rouge.

Pour obtenir 9 avec un double 4 et un 1
On peut avoir
x=4, y=4, z=1
x=4, y=1, z=4
x=1, y=4, z=4

Donc trois possibilités, mais je ne sais rien de l'ordre de tirage...

Avec un triple 3
x=3, y=3, z=3

donc une possibilité.

De façon plus théorique l'univers est ici l'ensemble des triplets de {1,2,3,4,5,6}

Dans c'est univers il n'y a qu'un et un seul triplet (3,3,3) !

Petite remarque ta solution 7+1+1 n'est pas valable sur un dé à six faces....

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Réponse : Pb des dés du Duc de Toscane de farfouille, postée le 07-02-2024 à 21:52:56 (S | E)
merci pour la rapidité dans la réponse

Je vais la lire pour voir si je la digère bien (le dénombrement est une partie des math qui me demande plus de temps pour digérer les analyses )

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Réponse : Pb des dés du Duc de Toscane de farfouille, postée le 07-02-2024 à 22:01:18 (S | E)
je crois que j'ai "entrevu" l'idée derrière grâce à la seule phrase "Donc trois possibilités, mais je ne sais rien de l'ordre de tirage..."

En fait j'ai le sentiment que pour chaque ligne on la possibilité d'avoir 3! possibilités car il y a 3 couleurs ! du coup on a à chaque fois 3! que l'on multiplie en haut et en bas par 3! [ je parle ici du calcul de Proba ]
(même pour le nombre total de possibilité) mais en simplifiant le nombre possible de coloris en gros cela revient à simplifier en haut et en bas par 3! donc Exit et on retombe sur nos pieds en ce sens que le ne regarde que le "calcul" comme vous l'avez mis, à aucun moment la couleur ne sert pour le calcul

En gros cela revient à dire que le choix de la couleur n'a aucun intérêt dans le choix, mais pour le raisonnement je pense qu'il faut en parler.
Ai-je tort ?

Encore Merci !!

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Modifié par farfouille le 07-02-2024 22:02

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Réponse : Pb des dés du Duc de Toscane de tiruxa, postée le 08-02-2024 à 10:38:58 (S | E)
Bonjour,

On pourrait en effet multiplier par 3! les deux termes de la fraction mais ce serait une complication inutile.

En fait si j'avais évoqué les couleurs des dés c'était juste parce que du temps du duc de Toscane la combinaison 4+4+1 était comptée pour 1 tout comme 3+3+3 d'où des erreurs ensuite constatées lors des jeux réels... Il fallait procéder autrement et compter trois combinaisons suivant que le 1 était sur le dé blanc, rouge ou vert.... Mais tout cela vous le savez.

Pour clarifier cela Bernoulli a ramené toute épreuve aléatoire à un tirage de boules dans une urne, il y a trois types de tirages, simultanés, successifs sans remise et successifs avec remise. Chacun de ces tirages étant équiprobable.

Pour les dés ce sont des tirages avec remise.
On place dans l'urne 6 boules numérotées de 1 à 6, on en tire une on la remet ... etc

Il y a donc 6*6*6 soit 216 tirages possibles.

Chacun des tirages est équiprobable (3,3,3) en est un, sa probabilité est 1/216
de même pour (4,4,1) , (1,4,4) et (4,1,4) donc pour 4+4+1 la probabilité est 3/216 ou 1/72.

En espérant vous avoir aidé.

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Réponse : Pb des dés du Duc de Toscane de farfouille, postée le 10-02-2024 à 09:32:47 (S | E)
Pas tout à fait...c'est un peu trop simplificateur, voire faux si on adopte un point de vue de physique. La notion de tirage est un peu lié à la notion d'ordre de tirage donc lié au TEMPS. L'ordre de tirage est juste une manière d'oublier la notion de temps, ce qui n'est pas expliqué comme cela dans les cours du Lycée...ce qui doit bloquer pas mal d'élèves aussi.
Or le cerveau ressent bien cela. Donc le fait d'apporter la notion de couleur est bien utile ET réel. C'est bien dommage que les profs ne l'expliquent pas comme cela, à se demander si cela est clair pour eux. A priori cela n'est pas évident que l'on puisse simplifier (le 3!) avec les couleurs si on ne fait pas le calcul (c'est le propre des maths d'expliquer et de ne rien tenir pour acquis comme "allant de soi" tant qu'on ne l'explique pas). Avec un pb en "si au moins les 2 premiers dés parmi les 3, ont une somme qui font 4" dans ce cas les couleurs seront utiles !!
Merci pour votre retour

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Modifié par farfouille le 10-02-2024 09:34

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